TD exercice Electricité I
Abordons le sujet de l'électricité de manière générale. Voici quelques éléments clés sur l'électricité I :
1. Charges électriques :
- Notion de charge
électrique positive et négative
- Interactions
électrostatiques entre charges (attraction/répulsion)
- Conservation de la
charge électrique
2. Champ électrique :
- Définition du champ
électrique
- Lignes de champ
électrique
- Calcul du champ
électrique créé par des distributions de charges
3. Potentiel électrique :
- Définition du potentiel
électrique
- Relation entre champ
électrique et potentiel
- Calcul du potentiel
électrique créé par des distributions de charges
4. Capacité électrique :
- Calcul de la capacité
pour différentes géométries (plan, sphère, cylindre)
- Energie stockée dans un
condensateur
5. Courant électrique :
- Définition et unité du
courant électrique
- Loi d'Ohm
- Résistance électrique et
résistivité
6. Circuits électriques en courant continu :
- Lois de Kirchhoff
- Montages série et
parallèle
- Puissance électrique et
rendement
N'hésite pas si tu as d'autres questions plus spécifiques sur ces différents aspects de l'électricité de base. Je serai ravi d'approfondir davantage certains points.
Exercice n°1
Calculons la charge électrique pour un segment de droite de
longueur L avec une distribution continue et uniforme de charges.
Pour un segment de droite avec une densité linéique de charges λ,
la charge électrique totale Q se calcule comme suit :
Q = ∫ λ dx
Où :
- λ est la densité linéique de charges (en C/m)
- dx est un élément infinitésimal de longueur le long du segment
Comme la densité de charges est uniforme, λ ne dépend pas de la
position le long du segment.
Donc l'intégrale se simplifie en :
Q = λ ∫ dx
En intégrant sur toute la longueur L du segment, on obtient :
Q = λ L
Donc pour un segment de droite de longueur L avec une densité
linéique de charges λ, la charge électrique totale Q est donnée par :
Q = λ L
Cette formule permet de calculer facilement la charge totale d'un
système présentant une distribution continue et uniforme de charges le long
d'un segment de droite.
Calculons maintenant la charge électrique pour un cercle de rayon R avec une distribution continue et uniforme de charges.
Pour un cercle avec une densité surfacique de charges σ, la charge
électrique totale Q se calcule comme suit :
Q = ∫ σ dA
Où :
- σ est la densité surfacique de charges (en C/m²)
- dA est un élément infinitésimal de surface du cercle
Comme la densité de charges est uniforme, σ ne dépend pas de la
position sur le cercle.
Pour un cercle de rayon R, on peut exprimer l'élément de surface dA
en coordonnées polaires :
dA = r dθ dr
Donc l'intégrale devient :
Q = ∫(0 à 2π) ∫(0 à R) σ r dθ dr
En intégrant d'abord par rapport à θ, on obtient :
Q = 2π ∫(0 à R) σ r dr
Puis en intégrant par rapport à r, on obtient :
Q = 2π σ R²
Donc pour un cercle de rayon R avec une densité surfacique de
charges σ, la charge électrique totale Q est donnée par :
Q = 2π σ R²
Cette formule permet de calculer facilement la charge totale d'un
système présentant une distribution continue et uniforme de charges sur un
cercle.
Calculons maintenant la charge électrique pour un disque de rayon R avec une distribution continue et uniforme de charges.
Pour un disque avec une densité volumique de charges ρ, la charge
électrique totale Q se calcule comme suit :
Q = ∫ ρ dV
Où :
- ρ est la densité volumique de charges (en C/m³)
- dV est un élément infinitésimal de volume du disque
Comme la densité de charges est uniforme, ρ ne dépend pas de la
position dans le disque.
Pour un disque de rayon R et d'épaisseur infinitésimale dz, on peut
exprimer l'élément de volume dV en coordonnées cylindriques :
dV = r dr dθ dz
Donc l'intégrale devient :
Q = ∫(0 à 2π) ∫(0 à R) ∫(0 à h) ρ r dr dθ dz
Où h est l'épaisseur du disque.
En intégrant d'abord par rapport à θ, puis r et enfin z, on obtient
:
Q = 2π ∫(0 à R) ρ r dr h
Q = 2π ρ h R²/2
Donc pour un disque de rayon R et d'épaisseur h avec une densité
volumique de charges ρ, la charge électrique totale Q est donnée par :
Q = 2π ρ h R²/2
Cette formule permet de calculer facilement la charge totale d'un
système présentant une distribution continue et uniforme de charges dans un
disque.
Voir la vidéo ici:
Calculons maintenant la charge électrique pour une sphère de rayon R avec une distribution continue et uniforme de charges, d'abord en surface puis en volume.
1. Sphère chargée en surface (densité surfacique de charges σ) :
Pour une sphère avec une densité surfacique de charges σ, la charge
électrique totale Q se calcule comme suit :
Q = ∫ σ dA
Où :
- σ est la densité surfacique de charges (en C/m²)
- dA est un élément infinitésimal de surface de la sphère
Comme la densité de charges est uniforme, σ ne dépend pas de la
position sur la sphère.
Pour une sphère de rayon R, on peut exprimer l'élément de surface dA en coordonnées sphériques :
dA = R² sin(θ) dθ dφ
Donc l'intégrale devient :
Q = ∫(0 à 2π) ∫(0 à π) σ R² sin(θ) dθ dφ
Q = 4π σ R²
Donc pour une sphère de rayon R avec une densité surfacique de
charges σ, la charge électrique totale Q est donnée par :
Q = 4π σ R²
2. Sphère chargée en volume (densité volumique de charges ρ) :
Pour une sphère avec une densité volumique de charges ρ, la charge
électrique totale Q se calcule comme suit :
Q = ∫ ρ dV
Où :
- ρ est la densité volumique de charges (en C/m³)
- dV est un élément infinitésimal de volume de la sphère
Comme la densité de charges est uniforme, ρ ne dépend pas de la
position dans la sphère.
Pour une sphère de rayon R, on peut exprimer l'élément de volume dV
en coordonnées sphériques :
dV = R² sin(θ) dθ dφ dr
Donc l'intégrale devient :
Q = ∫(0 à R) ∫(0 à 2π) ∫(0 à π) ρ R² sin(θ) dθ dφ dr
Q = 4π/3 ρ R³
Donc pour une sphère de rayon R avec une densité volumique de
charges ρ, la charge électrique totale Q est donnée par :
Q = 4π/3 ρ R³
Ces deux formules permettent de calculer facilement la charge
totale d'un système présentant une distribution continue et uniforme de charges
à la surface ou dans le volume d'une sphère.