TD Exercice Analyse 2
Voici une série d'exercices sur les intégrales et les équations différentielles linéaires :
1. Calculer l'intégrale suivante :
∫ (x^2 - 3x + 2) dx
Solution :
Pour calculer cette intégrale, nous
utilisons la règle d'intégration des polynômes :
∫ (x^2 - 3x + 2) dx = (x^3/3) -
(3x^2/2) + 2x + C
Où C est la constante d'intégration.
2. Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre suivant :
dy/dx + 2y = 5x
Solution :
Pour résoudre cette équation
différentielle linéaire du premier ordre, nous utilisons la méthode de
résolution standard :
1) Multiplier les deux membres par
le facteur intégrante e^∫p(x)dx, où p(x) = 2 dans ce cas.
e^∫2dx = e^2x
2) Intégrer les deux membres
multipliés par le facteur intégrante.
e^2x (dy/dx + 2y) = e^2x 5x
3) Intégrer les deux membres.
y(x) = (5/2)x e^(-2x) + C e^(-2x)
Où C est la constante d'intégration.
3. Résoudre l'équation différentielle linéaire du second ordre suivant :
d²y/dx² - 3 dy/dx + 2y = 0
Solution :
Pour résoudre cette équation
différentielle linéaire du second ordre, nous utilisons la méthode des
coefficients indéterminés :
1) Caractéristique de l'équation :
r^2 - 3r + 2 = 0
2) Résolution de l'équation
caractéristique :
r1 = 1, r2 = 2
3) La solution générale est donc :
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x
Ø Très bien, calculons ces primitives
!
a. ∫ cos(√x) dx
Pour résoudre cette intégrale, nous pouvons utiliser le changement
de variable u = √x, donc du = 1/(2√x) dx.
∫ cos(√x) dx = ∫ cos(u) (2√x) du = 2 ∫ cos(u) √x du
En intégrant par parties, on obtient :
∫ cos(u) √x du = 2 [√x sin(u) - ∫ √x sin(u) du]
= 2 [√x sin(u) - 2 ∫ cos(u) du]
= 2 [√x sin(u) - 2 sin(u)] + C
= 2√x sin(√x) - 4 sin(√x) + C
Donc la primitive de ∫ cos(√x) dx est 2√x sin(√x) - 4 sin(√x) + C.
b. ∫ ex / (√(1 + ex)) dx
Ici, nous pouvons utiliser le changement de variable u = √(1 + ex),
donc du = ex / (2√(1 + ex)) dx.
∫ ex / (√(1 + ex)) dx = 2 ∫ du
= 2u + C
= 2√(1 + ex) + C
Donc la primitive de ∫ ex / (√(1 + ex)) dx est 2√(1 + ex) + C.
c. ∫ cos4(x) sin3(x) dx
Pour résoudre cette intégrale, nous pouvons utiliser la formule de
réduction des puissances trigonométriques :
∫ cos4(x) sin3(x) dx = ∫ (1 - sin2(x))2 sin3(x) dx
= ∫ (sin3(x) - 2sin4(x) + sin6(x)) dx
Ensuite, nous pouvons intégrer chaque terme séparément :
∫ sin3(x) dx = -1/3 cos3(x) + C
∫ sin4(x) dx = 1/4 sin4(x) + C
∫ sin6(x) dx = -1/6 cos6(x) + C
En regroupant les termes, nous obtenons :
∫ cos4(x) sin3(x) dx = -1/3 cos3(x) - 1/2 sin4(x) - 1/6 cos6(x) + C
Donc la primitive de ∫ cos4(x) sin3(x) dx est -1/3 cos3(x) - 1/2
sin4(x) - 1/6 cos6(x) + C.
voir la vidéo ici:
Ø Très bien, calculons ces intégrales
!
a. ∫(1 à 1) x ln x / (1 + x²)² dx
Pour cette intégrale, nous pouvons utiliser la substitution u = 1 +
x² :
du = 2x dx
dx = du / 2x
Donc l'intégrale devient :
∫(1 à 1) x ln x / (1 + x²)² dx = ∫(1 à 1) ln x / 2x du / (1 + x²)
= 1/2 ∫(1 à 1) ln u / u du
En intégrant par parties, on obtient :
∫(1 à 1) ln u / u du = [ln u]1 à 1 - ∫(1 à 1) 1/u du
= ln 1 - ln 1 - [1/u]1 à 1
= -1
Donc la valeur de l'intégrale est :
∫(1 à 1) x ln x / (1 + x²)² dx = -1/2
b. ∫(0 à π/2) dx / (2 + sin(x))
Ici, nous pouvons utiliser la substitution u = 2 + sin(x) :
du = cos(x) dx
dx = du / cos(x)
Donc l'intégrale devient :
∫(0 à π/2) dx / (2 + sin(x)) = ∫(2 à 3) 1/u du
= ln(3) - ln(2)
= ln(3/2)
Donc la valeur de l'intégrale est :
∫(0 à π/2) dx / (2 + sin(x)) = ln(3/2)