Examen d'algèbre 5 :
Exercice d'algèbre
Soit le système d'équations linéaires suivant :
5x + 2y = 8
3x - y = 2
Répondez aux questions ci-dessous :
1. Résolvez ce système d'équations en utilisant la méthode de
substitution.
2. Vérifiez que la solution obtenue satisfait bien le système
d'équations.
3. Interprétez géométriquement la solution du système, c'est-à-dire
représentez-la sur un plan.
4. Déterminez l'ensemble des solutions du système si le second
membre du système était (8, 3) au lieu de (8, 2).
5. Quelle serait l'interprétation géométrique de ce nouveau système
?
Vous montrerez vos calculs et raisonnements de manière détaillée.
Cet exercice permet d'évaluer les compétences du candidat en :
- Résolution de systèmes d'équations linéaires
- Vérification et interprétation de la solution
- Analyse de la dépendance de la solution par rapport aux
paramètres du système
- Interprétation géométrique d'un système d'équations linéaires
L'objectif est de vérifier que le candidat maîtrise les outils et les concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire.
Exercice d'analyse numérique
On souhaite résoudre l'équation f(x) = 0 avec f(x) = x³ - 5x + 1
sur l'intervalle [0, 3] à l'aide de la méthode de dichotomie.
Questions :
1. Montrez que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur
l'intervalle [0, 3].
2. Déterminez une première valeur approchée de la solution en
utilisant la méthode de dichotomie, avec une précision de 10^-4.
3. Écrivez un algorithme en pseudocode permettant de résoudre cette
équation par la méthode de dichotomie.
4. Implémentez cet algorithme en langage Python et donnez le code
correspondant.
5. Discutez des avantages et des limites de la méthode de
dichotomie par rapport à d'autres méthodes numériques de résolution
d'équations.
Vous devrez justifier vos réponses de manière détaillée et montrer
vos calculs.
Cet exercice permet d'évaluer les compétences du candidat en :
- Analyse du comportement d'une fonction
- Mise en œuvre de la méthode de dichotomie
- Écriture d'un algorithme en pseudocode
- Implémentation en Python
- Comparaison des méthodes numériques de résolution d'équations
L'objectif est de vérifier que le candidat maîtrise les concepts fondamentaux de l'analyse numérique.
Voici un exemple d'exercice d'analyse 6 qui pourrait être proposé
dans un examen :
Exercice d'analyse
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x⁴ - 2x² + 1.
Répondez aux questions suivantes :
2. Calculez la dérivée première f' de la fonction f.
3. Étudiez le signe de la dérivée f' sur R et déduisez-en le sens
de variation de f.
4. Déterminez les extremums éventuels de la fonction f et leur
nature (minimum ou maximum).
5. Tracez le graphique de la fonction f sur un intervalle
pertinent.
Vous devrez montrer clairement vos étapes de résolution et
justifier vos réponses de manière détaillée.
Cet exercice permet d'évaluer les compétences du candidat en :
- Calcul différentiel (dérivation, étude du signe de la dérivée)
- Recherche et classification des extremums
- Représentation graphique d'une fonction
L'objectif est de vérifier que le candidat maîtrise les outils et les concepts fondamentaux de l'analyse mathématique.
Examen: Structures de données
1. Décrivez les principales structures de données linéaires (liste,
pile, file) utilisées en informatique. Présentez leurs opérations fondamentales
(insertion, suppression, accès, etc.) et donnez un exemple d'implémentation en
pseudocode pour chacune d'entre elles.
2. Expliquez le principe des arbres binaires de recherche. Quelles
sont les principales opérations (recherche, insertion, suppression) que l'on
peut effectuer sur ce type de structure ? Donnez la complexité de ces
opérations.
3. Considérons un arbre binaire de recherche contenant les valeurs
suivantes : 10, 5, 15, 3, 7, 12, 20.
a. Construisez cet arbre
binaire de recherche.
b. Effectuez une recherche
de la valeur 12 dans cet arbre et expliquez le déroulement de l'opération.
c. Supprimez la valeur 15
de cet arbre et reconstruisez-le. Justifiez les étapes de cette suppression.
4. Décrivez les principes des tables de hachage et leurs avantages par rapport aux structures de données linéaires classiques. Donnez un exemple simple d'implémentation en pseudocode d'une table de hachage.
5. Comparez les algorithmes de tri par sélection et de tri rapide (quicksort). Quelles sont les complexités respectives de ces deux algorithmes dans le meilleur et le pire des cas ?
Vous devrez justifier vos réponses de manière détaillée et montrer
vos étapes de résolution. Cet exercice vise à évaluer vos compétences en
structure de données et en algorithmique.