Exercice d'optique géométrique avec une solution détaillée :
Exercice :
Un rayon lumineux parallèle à l'axe optique d'une lentille
convergente (lentille mince) de distance focale f = 10 cm pénètre dans la
lentille. Le rayon ressort de la lentille en formant un angle α avec l'axe
optique.
Déterminer :
1. La position de l'image formée par la lentille.
2. La valeur de l'angle α.
Données :
- Distance focale de la lentille : f = 10 cm
- Rayon incident parallèle à l'axe optique
Solution :
1. Position de l'image formée par la lentille :
- Dans le cas d'un rayon
parallèle à l'axe optique pénétrant dans une lentille convergente, l'image se
forme au foyer image de la lentille.
- La distance focale f
étant donnée, la position de l'image est à la distance f de la lentille, du
côté opposé à l'objet.
- Donc la position de
l'image est à 10 cm de la lentille.
2. Valeur de l'angle α :
- Selon la construction
des images par une lentille mince, le rayon incident parallèle à l'axe optique
ressort de la lentille en passant par le foyer image.
- Donc le rayon sortant
forme un angle α avec l'axe optique.
- Cet angle α peut être
déterminé en utilisant les propriétés des triangles semblables.
- Soit h la hauteur du
rayon par rapport à l'axe optique, on a :
- tan(α) = h / f
- α = arctan(h/f)
- Avec h étant la hauteur
du rayon incident par rapport à l'axe optique (non donnée dans l'énoncé).
- Donc la valeur de l'angle
α ne peut pas être déterminée sans connaître la hauteur h du rayon incident.
En résumé, la position de l'image formée est à 10 cm de la
lentille, du côté opposé à l'objet. La valeur de l'angle α dépend de la hauteur
du rayon incident par rapport à l'axe optique, qui n'est pas donnée dans
l'énoncé.
Voici la résolution détaillée de cet exercice d'optique géométrique avec un dioptre sphérique :
1. Est-il concave ou convexe ?
- Le rayon de courbure R
du dioptre sphérique est positif, donc le dioptre est convexe.
2. Calcul de la vergence V du dioptre :
- La formule de la
vergence d'un dioptre sphérique est : V = (n' - n) / R
- Avec n = 1 (indice du
premier milieu) et n' = 4/3 (indice du second milieu)
- Donc V = (4/3 - 1) /
0.05 = 6,67 dioptries
- Le dioptre est donc convergent.
3. Positions des foyers F et F' :
- La formule reliant la
distance focale f à la vergence V est : f = 1/V
- Donc f = 1/6,67 = 0,15 m
= 15 cm
- Le foyer objet F est à
15 cm à gauche du dioptre
- Le foyer image F' est à
15 cm à droite du dioptre
4. Tracé de l'image et calculs numériques :
a) Tracé de l'image par
rayons particuliers :
- Tracer un rayon
parallèle à l'axe optique, il passe par le foyer image F'
- Tracer un rayon passant
par le centre optique, il n'est pas dévié
- Le point
d'intersection de ces deux rayons donne la position de l'image A'B'
b) Calcul numérique de la
position de l'image :
- Utiliser la formule
des lentilles minces : 1/s + 1/s' = 1/f
- Avec s = 5 cm (distance objet) et f = 15
cm (distance focale)
- On a donc s' = 7,5
cm, soit la distance image
c) Calcul du grandissement
transversal :
- Le grandissement
transversal est donné par : γ = -s'/s
- Avec s = 5 cm et s' =
7,5 cm
- Donc γ = -7,5/5 =
-1,5
- L'image est donc réelle, renversée et agrandie d'un facteur 1,5.
En résumé, le dioptre sphérique est convexe, convergent, avec des
foyers à 15 cm de part et d'autre. L'image de l'objet de 1 cm placé à 5 cm est
une image réelle, renversée et agrandie d'un facteur 1,5, située à 7,5 cm du
dioptre.
Voici la résolution détaillée de cet exercice d'optique géométrique avec une lentille mince et un doublet de lentilles :
1. Calcul de la vergence de chaque dioptre :
- Dioptre 1 (face objet) :
V1 = (n' - n) / R1 = (1 - 1,5) / (-0,2) = 2,5 dioptries (convergent)
- Dioptre 2 (face image) :
V2 = (n' - n) / R2 = (1 - 1,5) / 0,3 = -1,67 dioptries (divergent)
2. Relation de conjugaison de la lentille :
- 1/s + 1/s' = 1/f
- Avec s, s' les distances
objet et image, et f la distance focale de la lentille
3. Calcul de la vergence V, des distances focales f1 et f'1 :
- Vergence de la lentille
: V = V1 + V2 = 0,83 dioptries
- Distance focale objet f1
= 1/V = 120 cm
- Distance focale image
f'1 = -1/V = -120 cm
- La lentille est
convergente.
4. Système à deux lentilles minces (doublet) :
a) Calcul de la distance
focale image f'2 de la lentille L2 :
- D'après les données,
le système a un symbole (-3, 1, 2)
- Donc f'2 = -f'1/3 = 40 cm, la lentille L2 est divergente.
b) Calcul de l'épaisseur
et de l'intervalle optique :
- Épaisseur e = O1O2 =
1 cm
- Intervalle optique
F1F2 = f'1 + f'2 = -120 + 40 = -80 cm
c) Calcul de la
convergence C et des distances focales f et f' du doublet :
- C = 1/f = 1/(-80) =
-0,0125 dioptries, le doublet est divergent
- f = -80 cm
- f' = 80 cm
d) Position du foyer
principal objet F :
- F est situé à f = -80
cm par rapport à l'objet, il est virtuel.
5. Construction géométrique des foyers et points principaux :
- Le foyer principal image
F' se trouve à 80 cm à droite du système
- Le point principal image
H' se trouve entre les deux lentilles, plus près de L2
6. Points nodaux N et N' du doublet :
- Les points nodaux N et
N' du doublet sont confondus avec les centres optiques des lentilles L1 et L2.
En résumé, le doublet de lentilles est un système divergent, avec
une distance focale de -80 cm. Le foyer principal objet F est virtuel, situé à
80 cm à gauche du système.