Mécanique des Milieux Continus Travaux Dirigés
je peux vous aider avec un exercice de statique des fluides. Voici
un problème typique :
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Problème :
Une piscine rectangulaire a une longueur de 10 mètres, une largeur
de 5 mètres et une profondeur de 2 mètres. La densité de l'eau est de 1000
kg/m³. Calculez :
1. La pression à une profondeur de 1,5 mètre.
2. La force exercée sur le fond de la piscine.
Solution :
1. La pression hydrostatique à une profondeur h dans un liquide est
donnée par la formule :
\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]
où \( \rho \) est la densité du liquide, \( g \) est l'accélération
due à la gravité, et \( h \) est la profondeur.
En substituant les valeurs
données, nous obtenons :
\[ P = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 1.5
\, \text{m} = 14700 \, \text{Pa} \]
Donc, la pression à une
profondeur de 1,5 mètre est de 14700 Pascal.
2. La force exercée sur le fond de la piscine est égale à la
pression multipliée par la surface. La surface du fond de la piscine est \( 10
\, \text{m} \times 5 \, \text{m} = 50 \, \text{m}^2 \). Donc, la force exercée
sur le fond de la piscine est :
\[ F = P \times A = 14700 \, \text{Pa} \times 50 \, \text{m}^2 =
735000 \, \text{N} \]
Donc, la force exercée sur
le fond de la piscine est de 735000 Newton.
D'accord, voici un exercice typique en mécanique des milieux
continus:
Problème :
Un cylindre en acier a un rayon de 0,5 mètre et une hauteur de 1
mètre. Une force de 5000 Newton est appliquée horizontalement sur le côté du
cylindre. La contrainte maximale admissible pour l'acier est de 100 MPa.
Déterminez si le cylindre va subir une déformation plastique ou rester dans la
zone élastique.
Solution :
1. Tout d'abord, calculons la contrainte que subit le cylindre. La
contrainte (\( \sigma \)) est définie comme la force (\( F \)) divisée par la
surface transversale (\( A \)) à laquelle elle est appliquée :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Où \( A \) est la surface d'un cercle, \( A = \pi r^2 \).
Donc, \( A = \pi \times (0,5 \, \text{m})^2 = 0,785 \, \text{m}^2
\).
Maintenant, nous pouvons calculer la contrainte :
\[ \sigma = \frac{5000 \, \text{N}}{0,785 \, \text{m}^2} \approx
6366 \, \text{Pa} \]
2. Comparons cette contrainte maximale admissible de l'acier (\(
\sigma_{\text{max}} = 100 \, \text{MPa} = 100 \times 10^6 \, \text{Pa} \)).
- Si \( \sigma <
\sigma_{\text{max}} \), le matériau reste dans la zone élastique et la
déformation est réversible.
- Si \( \sigma \geq
\sigma_{\text{max}} \), le matériau entre dans la zone plastique et subit une
déformation permanente.
Dans notre cas, \( 6366 \, \text{Pa} < 100 \times 10^6 \,
\text{Pa} \), donc le matériau reste dans la zone élastique et la déformation
est réversible. Le cylindre ne subira pas de déformation plastique sous
l'action de la force de 5000 Newton.
Dans cet exercice, vous travaillez avec de l'air, que vous
considérez comme un gaz parfait. Un gaz parfait est un modèle simplifié de
comportement des gaz qui obéit aux lois suivantes :
1. Loi de Boyle-Mariotte : Pour une masse
donnée de gaz à température constante, le produit de la pression par le volume
est constant.
\[ PV = \text{constante}
\]
2. Loi de Charles : Pour une masse
donnée de gaz à pression constante, le volume est directement proportionnel à
la température en kelvins.
\[ \frac{V_1}{T_1} =
\frac{V_2}{T_2} \]
3. Loi de Gay-Lussac : Pour une masse
donnée de gaz à volume constant, la pression est directement proportionnelle à
la température en kelvins.
\[ \frac{P_1}{T_1} =
\frac{P_2}{T_2} \]
Puisque vous dites que la température est constante dans cet
exercice, la loi de Charles et la loi de Gay-Lussac ne seront pas nécessaires.
Quel est le problème ou la question spécifique que vous souhaitez
aborder dans cet exercice ?
Pour établir la loi de variation de la pression en fonction de
l'altitude, nous pouvons utiliser la relation entre la pression atmosphérique
et l'altitude, souvent appelée la "loi barométrique". Cette loi est
dérivée de l'idée que la pression atmosphérique diminue avec l'altitude en
raison de la diminution de la masse d'air au-dessus d'un point donné.
La loi barométrique peut être exprimée de différentes manières,
mais une forme courante est l'équation de l'atmosphère standard, qui est une
approximation de la façon dont la pression atmosphérique varie avec l'altitude
dans des conditions standard. Elle est souvent exprimée comme suit :
\[ P = P_0 \times \left(1 - \frac{L \times h}{T_0}\right)^{\frac{g
\times M}{R \times L}} \]
Où :
- \( P \) est la pression à une altitude donnée,
- \( P_0 \) est la pression au niveau de la mer (pression
standard),
- \( L \) est le gradient de température adiabatique (environ
0,0065 K/m pour la troposphère),
- \( h \) est l'altitude par rapport au niveau de la mer,
- \( T_0 \) est la température au niveau de la mer (température
standard, généralement 288,15 K),
- \( g \) est l'accélération due à la gravité (environ \(9,81 \,
m/s^2\)),
- \( M \) est la masse molaire de l'air (environ \(0,029 \,
kg/mol\)),
- \( R \) est la constante des gaz parfaits (environ \(8,314 \,
J/(mol \cdot K)\)).
En utilisant cette équation, vous pouvez établir la relation entre
la pression et l'altitude. Vous pouvez également utiliser des valeurs
empiriques ou des modèles atmosphériques pour des études plus détaillées ou des
applications spécifiques.